Таблица производных
Полный справочник основных производных по категориям: степенные, показательные, тригонометрические функции и правила дифференцирования.
Степенные функции
| f(x) | f′(x) | |
|---|---|---|
| C (const) | 0 | |
| x | 1 | |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | |
| √x = x^(1/2) | 1 / (2√x) | |
| 1/x = x⁻¹ | −1/x² |
Показательные и логарифмические
| f(x) | f′(x) | |
|---|---|---|
| eˣ | eˣ | |
| aˣ | aˣ · ln(a) | |
| ln(x) | 1/x | |
| log_a(x) | 1 / (x · ln(a)) |
Тригонометрические
| f(x) | f′(x) | |
|---|---|---|
| sin(x) | cos(x) | |
| cos(x) | −sin(x) | |
| tan(x) | 1/cos²(x) = sec²(x) | |
| cot(x) | −1/sin²(x) = −csc²(x) | |
| arcsin(x) | 1/√(1 − x²) | |
| arccos(x) | −1/√(1 − x²) | |
| arctan(x) | 1/(1 + x²) |
Правила дифференцирования
| f(x) | f′(x) | |
|---|---|---|
| f(x) ± g(x) | f′(x) ± g′(x) | Правило суммы / разности |
| f(x) · g(x) | f′·g + f·g′ | Правило произведения |
| f(x) / g(x) | (f′·g − f·g′) / g² | Правило частного |
| f(g(x)) | f′(g(x)) · g′(x) | Цепное правило |
Как пользоваться: Таблица производных
- Просмотрите справочную таблицу для поиска нужных значений.
- Используйте поиск или прокрутку для нахождения данных.
- Нажмите на значение, чтобы скопировать или увидеть детали.
- Используйте таблицу как быстрый справочник.
Таблица значений
| Из | В |
|---|---|
| 1 × 1 | 1 |
| 5 × 5 | 25 |
| 7 × 8 | 56 |
| 9 × 9 | 81 |
| 12 × 12 | 144 |
| 15 × 15 | 225 |
Примеры использования
- •Быстрый поиск значений на уроках математики или в работе.
- •Проверка вычислений без полноценного научного калькулятора.
- •Изучение математических закономерностей и свойств.
- •Удобный справочник для инженерных и научных задач.
Формула
Производная f′(x) измеряет мгновенную скорость изменения функции f(x). Она определяется как предел: f′(x) = lim[h→0] (f(x+h) − f(x)) / h.
Часто задаваемые вопросы
Что такое производная?
Производная измеряет скорость изменения функции. Геометрически f′(x) — это угловой коэффициент касательной к графику f(x) в точке x.
Какие основные правила дифференцирования?
Основные правила: правило суммы (f±g)′ = f′±g′, произведения (fg)′ = f′g + fg′, частного (f/g)′ = (f′g − fg′)/g² и цепное правило (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x).
Чему равна производная eˣ?
Производная eˣ равна самой eˣ. Это уникальное свойство делает число e (число Эйлера ≈ 2,71828) фундаментальным в математическом анализе.
Как найти производную сложной функции?
Используйте цепное правило: если y = f(g(x)), то dy/dx = f′(g(x)) · g′(x). Например, d/dx[sin(x²)] = cos(x²) · 2x.